Question

已知函数f（x）=2x²+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：当m=0时，f（x）=2x²+4x+4，g（x）=0，
∵f（x）=2（x+1）²+2＞0，∴m=0符合题意．
若m＜0，在x＜0时，g（x）＞0，在x≥0时，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x²+（4-m）x+4-m＞0在[0，+∞）上恒成立．
∵，∴f（0）=4-m＞0，∴m＜4，∴m＜0符合题意．
若m＞0，在x＞0时，g（x）＞0，在x≤0时，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x²+（4-m）x+4-m＞0在（-∞，0]上恒成立．
∴或，
综上可知m＜4．
分析：不论m为何值，对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，所以对m分类讨论，即m=0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值．
点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．