Question

在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-

3

），（0，

3

）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点．
（I）写出曲线C的方程．
（II）当∠AOB是锐角时，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由椭圆的定义可得曲线C的方程；
（Ⅱ）设出直线y=kx+1与曲线C的两个交点的坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线方程和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由∠AOB是锐角，得到x₁x₂+y₁y₂＞0，转化为只含横坐标的表达式后代入根与系数关系，整理后即可求得k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，故曲线C的方程为：x2+

y2

4

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

y=kx+1 4x2+y2=4

．
消去y得，（k²+4）x²+2kx-3=0．
△=4k²-4（k²+4）（-3）=16k²+48＞0，
x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．
若∠AOB是锐角，则

OA

•

OB

＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，
而y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=

4-4k2

k2+4

．
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

+

4-4k2

k2+4

＞0．
所以-

1

2

＜k＜

1

2

．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的根与系数的关系，解答的关键是把∠AOB是锐角转化为两个交点坐标间的关系，是中高档题．