Question

6．已知f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{{e}^{2}+1}{e}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$）
• C． （-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$，-2）
• D． （2，$\frac{{e}^{2}+1}{e}$）

Answer 1

分析 化简f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，从而求导以确定函数的单调性，从而作出函数的简图，从而解得．

解答 解：f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，
当x∈（-∞，0）时，f（x）=-xe^x，
f′（x）=-e^x（x+1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，0）上是减函数；
作其图象如下，

且f（-1）=$\frac{1}{e}$；
故若方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
则方程x²+tx+1=0（t∈R）有两个不同的实根，且x₁∈（0，$\frac{1}{e}$），x₂∈（$\frac{1}{e}$，+∞）∪{0}，
故$\left\{\begin{array}{l}{0+0+1＞0}\\{\frac{1}{{e}^{2}}+t\frac{1}{e}+1＜0}\end{array}\right.$，或1=0
解得，t∈（-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$），
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的应用及导数的综合应用．