Question

（（本小题满分13分）设O为坐标原点，曲线x²＋y²＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足OP⊥OQ.
(1)求m的值；
(2)求直线PQ的方程.

Answer 1

解： (1)曲线方程可化为(x＋1)²＋(y－3)²＝9，是圆心为(－1,3)，半径为3的圆.
因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
所以圆心(－1,3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.
(2)因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)
则直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x²＋2(4－b)x＋b²－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)²－4×2(b²－6b＋1)＞0，解得2－3＜b＜2＋3.
x₁＋x₂＝b－4，x₁x₂＝，
y₁y₂＝(－x₁＋b)(－x₂＋b)＝b²－b(x₁＋x₂)＋x₁x₂＝，
因为·＝0，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0，
即＋＝0，得b＝1.
故所求的直线方程为y＝－x＋1.

略