Question

11．设函数f（x）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{x}$（x＞0），数列{a_n}满足a₁=1，a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），n∈N^*，且n≥2
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，设S_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，若S_n≥$\frac{3t}{4n}$恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过代入f（x）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{x}$（x＞0）可知数列{a_n}是首项为1、公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），进而并项相加可知S_n=$\frac{3n}{2n+3}$，从而问题转化为求$\frac{4{n}^{2}}{2n+3}$的最小值，通过利用导数可知g（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2x+3}$（x＞0）的单调性，计算即得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{x}$（x＞0），a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），
∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{3}$，
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，
∴其通项公式a_n=1+（n-1）$\frac{2}{3}$=$\frac{2n+1}{3}$；
（2）由（1）可知：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$
=$\frac{9}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]
=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{3n}{2n+3}$，
则S_n≥$\frac{3t}{4n}$恒成立等价于$\frac{3n}{2n+3}$≥$\frac{3t}{4n}$，即t≤$\frac{4{n}^{2}}{2n+3}$恒成立，
令g（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2x+3}$（x＞0），则g′（x）=$\frac{8x（x+3）}{（2x+3）^{2}}$＞0，
∴函数g（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2x+3}$（x＞0）为增函数，
∵当n=1时$（\frac{4{n}^{2}}{2n+3}）_{min}$=$\frac{4}{5}$，
∴t≤$\frac{4}{5}$，即实数t的取值范围是：（-∞，$\frac{4}{5}$]．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，涉及裂项相消法，利用导数研究函数的单调性等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．