Question

16．P是长、宽、高分别为12，3，4的长方形外接球表面上一动点，设P到长方体各个面所在平面的距离为d，则d的取值范围是[0，$\frac{25}{2}$]．

Answer 1

分析 利用长方体的对角线长等于长方体外接球的直径，可得长方体外接球的半径，计算宽、高分别为3，4的长方形的对角线长为5，球心到该面的距离为$\sqrt{\frac{169}{4}-\frac{25}{4}}$=6，即可求出d的取值范围．

解答 解：由题意，长方体的对角线长为$\sqrt{144+9+16}$=13，等于长方体外接球的直径，则长方体外接球的半径为$\frac{13}{2}$，宽、高分别为3，4的长方形的对角线长为5，球心到该面的距离为$\sqrt{\frac{169}{4}-\frac{25}{4}}$=6，
∵P到长方体各个面所在平面的距离为d，
∴d的最小值为0，最大值为6+$\frac{13}{2}$=$\frac{25}{2}$，
∴d的取值范围是[0，$\frac{25}{2}$]．
故答案为：[0，$\frac{25}{2}$]．

点评 本题考查长方体外接球，考查P到长方体各个面所在平面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．