Question

6．设{a_n}是公差不为0的等差数列，已知a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+1，数列{b_n}前n项和为S_n，求数列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}是公差d不为0的等差数列，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求得b_n=a_n+1=2n+1，S_n=$\frac{1}{2}$（3+2n+1）n=n（n+2），可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设{a_n}是公差d不为0的等差数列，
a₁，a₂，a₄成等比数列，可得：
a₂²=a₁a₄，即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
化为a₁=d=2，
则{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（2）b_n=a_n+1=2n+1，
数列{b_n}前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$（3+2n+1）n=n（n+2），
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
即有数列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n项和为
$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，同时考查等差数列的求和公式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．