Question

1．已知S_n是数列{$\frac{n}{{2}^{n-1}}$}的前n项和，若不等式|λ+1|＜S_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立，则λ的取值范围是-3＜λ＜1．

Answer 1

分析 利用错位相减法计算可知S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，化简可知4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$≥2，从而问题转化为解不等式|λ+1|＜2，计算即得结论．

解答 解：∵S_n是数列{$\frac{n}{{2}^{n-1}}$}的前n项和，
∴S_n=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
两式相减，得：$\frac{1}{2}$S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
即S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∵$\frac{1}{{2}^{n-2}}$随着n的增大而减小，
∴当n=1时4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$取最小值4-$\frac{1}{{2}^{1-2}}$=2，
∴|λ+1|＜2，解得：-3＜λ＜1，
故答案为：-3＜λ＜1．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查错位相减法，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．