Question

10．2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：

时间	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
车流量x（万辆）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的浓度y（微克/立方米）	27	31	35	41	49	56	62

（1）在表中，画出车流量和PM2.5浓度的散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）（i）利用所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时，PM2.5的浓度；
（ii）规定当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优活为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内（结果以万辆为单位，保留整数）？
参考公式：回归直线的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{x}$=$\overline{y}$=$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）利用描点法可得数据的散点图；
（2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程；
（3）（i）根据（2）的性回归方程，代入x=8求出PM2.5的浓度，（ii）由$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$≤100，解得x的取值范围．

解答 解：画出车流量和PM2.5浓度的散点图；

（2）由数据可得：$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（27+31+35+41+49+56+62）=43，
$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=1373，$\sum_{i=1}^{7}$${x}_{i}^{2}$=140，
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1373-1204}{140-112}$=$\frac{169}{28}$，
$\stackrel{^}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=$\frac{132}{7}$，
故y关于x的线性回归方程为$\stackrel{^}{y}$=$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$，
（3）（i）当车流量为8万辆时，即x=8时，$\stackrel{^}{y}$=$\frac{169}{28}$×8+$\frac{132}{7}$=$\frac{470}{7}$，
故车流量为8万辆时，PM2.5的浓度$\frac{470}{7}$，
（ii）根据题意信息$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$≤100，
即当x≤13.44时，
所要使该市某日空气质量为优活为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．

点评 本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力，属于中档题．