Question

6．如图，在边长为1的正三角形ABC中，$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MC}$，N为AM的中点．
（Ⅰ） 求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BC}$的值；
（Ⅱ） 若$\overrightarrow{BN}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，求$\frac{n}{m}$的值．

Answer 1

分析 （I）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BC}$，再计算数量级；
（II）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BN}$，根据向量的基本定理得出m，n的值．

解答 解：（I）${\overrightarrow{AB}}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}=1$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$．
$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$．
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=-$\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{6}$．
（II）∵$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}$=-$\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴m=-$\frac{5}{6}$，n=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{n}{m}$=-$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的基本定理，属于中档题．