Question

13．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C的方程为ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入上述方程即可化为直角坐标方程．
（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t²+6$\sqrt{2}$t-6=0，利用|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y²=4x．
（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），
把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），代入抛物线方程可得：t²+6$\sqrt{2}$t-6=0，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与抛物线相交问题、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．