Question

【题目】如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为3，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径.

（1）计算球的表面积和体积；

（2）若是截面小圆上一点，，分别是线段和的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角表示）.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为3cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积和体积（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角），连接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．

（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，

在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，

由勾股定理知，AO=5，

球O的表面积为：，

体积.

（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．

在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，则AC=4，

连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，

由余弦定理知：

，

，

异面直线AC与MN所成的角为．