Question

【题目】已知椭圆 的离心率为，且过点是椭圆的左、右顶点，直线过点且与轴垂直．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于的任意一点，作轴于点，延长到点使得，连接并延长交直线于点，点为线段的中点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1) (2) 直线与以为直径的圆相切． 证明见解析

【解析】

（1）利用离心率和，，的平方关系，即可求出椭圆的标准方程；

（2）设，，则，，联立直线的直线方程与，求出点的坐标，再求出点的坐标，从而求出直线的方程，再求出到直线的距离，因为，所以直线与以为直径的圆相切．

解：（1）椭圆 的离心率为，且过点，

，解得，

椭圆的标准方程为： ；

（2）设，则，

直线的方程为，

联立，解得，点，

点，

则直线的方程为，

即，

，直线的方程可化为，

到直线的距离为，

故直线与以为直径的圆相切．