Question

【题目】某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.

（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；

（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.

（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；

（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率.

Answer 1

【答案】(1)4300；(2) （i）平均数为5.2，方差为1.36.（ii）

【解析】

（1）根据系统抽样的特征,各个编号成等差数列,根据等差数列的首项与公差即可求得前10项的和.

（2）根据分层抽样特征可知抽出的样本中A题目的成绩有6个,B题目的成绩有4个.求出10名学生的总成绩,即可得10名学生的平均成绩.根据所给A题目和B题目的平均数和方差,将方差公式变形,即可求得10名学生的成绩方差.从选取的成绩可知,A题目中超过平均成绩的有3人,B题目超过平均值的有2人,根据古典概型概率求法,用列举法把所有情况列举出来,即可得解.

（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以25为首项,以90为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前10项之和,

所以.

（2）（i）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中A题目的成绩有6个,按分值降序分别记为,,…,；B题目的成绩有4个,按分值降序分别记为,,,.

记样本的平均数为,样本的方差为.由题意可知,

,

,

所以,估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.

（ii）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5,易知样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别为,,,B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别为,.

从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法,为：

,,,,,,,,,,

其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为：

,,,,,,

记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件,

所以.