Question

17．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，以F₁F₂为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF₁（O为坐标原点）为直径的圆与PF₂相切，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{-3+6\sqrt{2}}{4}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{3+6\sqrt{2}}{7}$

Answer 1

分析 设F₁N=ON=MN=r，则OF₂=2r，根据勾股定理NF₂=2$\sqrt{2}$r，再利用相似三角形和双曲线的离心率公式即可求得

解答 解：设F₁N=ON=MN=r，
则OF₂=2r，
根据勾股定理NF₂=2$\sqrt{2}$r，
又△MF₂N∽△PF₁F₂，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{P{F}_{2}-P{F}_{1}}$=$\frac{N{F}_{2}}{M{F}_{2}-MN}$=$\frac{3r}{2\sqrt{2}r-r}$=$\frac{6\sqrt{2}+3}{7}$，
故选：D

点评 此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．