Question

7．已知数列{a_n}满足，${a_n}=2+2{cos^2}\frac{nπ}{2}$，n∈N^*，等差数列{b_n}满足a₁=2b₁，a₂=b₂．
（1）求b_n；
（2）记c_n=a_2n-1b_2n-1+a_2nb_2n，求c_n；
（3）求数列{a_nb_n}前2n项的和S_2n．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简a_n，可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n为奇数}\\{4，n为偶数}\end{array}\right.$．求出数列{b_n}的首项和公差，则通项公式可求；
（2）直接把{a_n}、{b_n}的通项公式代入求解；
（3）由（2）知，数列{c_n}是以36为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式得答案．

解答 解：（1）由${a_n}=2+2{cos^2}\frac{nπ}{2}$=2+1+cosnπ=3+cosnπ=$\left\{\begin{array}{l}{2，n为奇数}\\{4，n为偶数}\end{array}\right.$．
于是，${b}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}=1$，b₂=a₂=4，
∴等差数列{b_n}的公差为3，则b_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）c_n=a_2n-1b_2n-1+a_2nb_2n=2[3（2n-1）-2]+4[3×2n-2]=36n-18；
（3）由（2）知，数列{c_n}是以36为公差的等差数列，
则S_2n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_2n-1b_2n-1+a_2nb_2n
=$\frac{n（{c}_{1}+{c}_{n}）}{2}$=$\frac{n（18+36n-18）}{2}=18{n}^{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．