Question

17．已知函数f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线2x+y-1=0垂直，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，计算2-a=$\frac{1}{2}$，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2}{x}$-a，f′（1）=2-a，
直线2x+y-1=0的斜率是-2，
故2-a=$\frac{1}{2}$，解得：a=$\frac{3}{2}$；
（2）f′（x）=$\frac{2-ax}{x}$，（x＞0），
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{2}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）递增，在（$\frac{2}{a}$，+∞）递减．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．