Question

5．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为-$\frac{1}{4}$，则$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由向量的平方即为模的平方．可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$²，再由向量的夹角公式：cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，化简即可得到所求值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|，
即有（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）²，
即为$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{b}$²，
化为$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$²，
由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为-$\frac{1}{4}$，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{4}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，
化简可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$=2．
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积的夹角公式，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．