Question

15．某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y₁与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y₂与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y₁，y₂分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．

Answer 1

分析 设仓库应建在离车站x千米处，由仓库每月占用费y₁与仓库到车站的距离成反比，每月车载货物的运费y₂与仓库到车站的距离成正比，利用给出的x=10及对应的费用求出比例系数，得到y₁，y₂关于x的函数关系式，写出这两项费用之和，由基本不等式求最值．

解答 解：设仓库应建在离车站x千米处．
∵仓库每月占用费y₁与仓库到车站的距离成反比，
令反比例系数为m（m＞0），则y₁=$\frac{m}{x}$，
当x=10时，y₁=$\frac{m}{10}$=2，∴m=20；
∵每月车载货物的运费y₂与仓库到车站的距离成正比，
令正比例系数为n（n＞0），则y₂=nx，
当x=10时，y₂=10n=8，∴n=$\frac{4}{5}$．
∴两项费用之和：
y=y₁+y₂=$\frac{20}{x}$+$\frac{4x}{5}$≥2×4=8（万元）．
当且仅当$\frac{20}{x}$=$\frac{4x}{5}$，即x=5时，取等号．
∴仓库应建在离车站5千米处，可使这两项费用之和最小，为8万元．
故答案为5．

点评 本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答此题的关键对题意的理解，通过题意求出比例系数，是中档题．