Question

6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，m），B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2$\sqrt{2}$．
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上任取一点P（x₀，2），过点P作两条直线分别与抛物线另外相交于点M，N，连接MN，若直线
PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k₁，k₂，k₃，求$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$-$\frac{1}{{k}_{3}}$的值．

Answer 1

分析 （1）抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，m），可得m²=2p，由B为抛物线的准线与x轴的交点，可得B$（-\frac{p}{2}，0）$．根据|AB|=2$\sqrt{2}$，即可得出．
（2）在抛物线上任取一点P（x₀，2），4x₀=2²，解得P（1，2）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线PM的方程为：y-2=k₁（x-1），与抛物线方程联立化为：${y}^{2}-\frac{4}{{k}_{1}}$y+$\frac{8}{{k}_{1}}$-4=0，解得M$（\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}，\frac{4}{{k}_{1}}-2）$．同理可得：N$（\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{2}^{2}}，\frac{4}{{k}_{2}}-2）$．再利用斜率计算公式化简即可得出．

解答 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，m），
∴m²=2p，
∵B为抛物线的准线与x轴的交点，∴B$（-\frac{p}{2}，0）$．
又|AB|=2$\sqrt{2}$，
∴（1+$\frac{p}{2}$）²+m²=8，
∵p＞0，∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x．
（2）在抛物线上任取一点P（x₀，2），∴4x₀=2²，解得x₀=1，∴P（1，2）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线PM的方程为：y-2=k₁（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-2={k}_{1}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：${y}^{2}-\frac{4}{{k}_{1}}$y+$\frac{8}{{k}_{1}}$-4=0，
解得y=2或y=$\frac{4}{{k}_{1}}-2$．∴x₁=$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=$\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}$，∴M$（\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}，\frac{4}{{k}_{1}}-2）$．
同理可得：N$（\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{2}^{2}}，\frac{4}{{k}_{2}}-2）$．
∴k₃=$\frac{\frac{4}{{k}_{2}}-2-（\frac{4}{{k}_{1}}-2）}{\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{2}^{2}}-\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{（{k}_{1}+{k}_{2}）-{k}_{1}{k}_{2}}$，
可得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$-$\frac{1}{{k}_{3}}$=1．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．