Question

6．已知函数f（x）=xlnx+a|x-1|．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，x＞0，由此能求出函数f（x）的单调区间和极小值、最小值；
（Ⅱ）由已知可得：f（1）=0，故1为函数的一个零点；对a进行分类讨论，求出不同情况下，满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵a=0时，f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
∵f′（x）＞0解得x＞$\frac{1}{e}$，f′（x）＜0解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴函数f（x）的减区间为（0，$\frac{1}{e}$），增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞），
f（x）在x=$\frac{1}{e}$取得极小值-$\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）由已知可得：f（1）=0，故1为函数的一个零点；
若a=0，则函数仅有一个零点，不满足条件；
若a＞0，则
当x＞1时，f（x）=xlnx+ax-a，f′（x）=lnx+1+a＞0恒成立，此时函数为增函数，不存在零点，
当0＜x＜1时，f（x）=xlnx-ax+a，f′（x）=lnx+1-a，若此时函数存在零点，则lnx+1-a=0有解，
即a=lnx+1＜1有解，即0＜a＜1；
若a＜0，则
当0＜x＜1时，f（x）=xlnx-ax+a，f′（x）=lnx+1-a＞0恒成立，此时函数为增函数，不存在零点，
x＞1时，f（x）=xlnx+ax-a，f′（x）=lnx+1+a，若此时函数存在零点，则lnx+1+a=0有解，
即a=-（lnx+1）＜-1有解，即a＜-1；
综上可得：0＜a＜1，或a＜-1．

点评 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．