Question

16．已知$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，则向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$便可得出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=0$，结合条件进行数量积的运算即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，进而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$1+\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$
=0；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．
故选C．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围．