Question

1．已知f（x）=xlnx．
（1）求曲线f（x）在x=e处的切线方程．
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可．

解答 解：（1）由f（x）=xln x得f′（x）=ln x+1（x＞0），
所以切线斜率为f′（x）=lne+1=2
切点坐标为（e，e），
所以切线方程为y-e=2（x-e）即y=2x-e；
（2）f′（x）=ln x+1（x＞0），
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$．
∴当x∈$（0，\frac{1}{e}）$时，f′（x）＜0；
当x∈$（\frac{1}{e}，+∞）$时，f′（x）＞0，
∴f（x）=xln x在$（0，\frac{1}{e}）$单调递减，在$（\frac{1}{e}，+∞）$单调递增．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，函数的单调性的判断，考查计算能力．