Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点和短轴顶点构成面积为4的正方形．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过焦点F₁，F₂作互相平行的两条直线，与椭圆分别交于点P，Q，R，S，求四边形PQRS的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，分析可得a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c且a²=4，解可得a=2，b=$\sqrt{2}$，代入椭圆的方程计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由椭圆的对称性可得四边形PQRS为平行四边形；且S_?PQRS=4S_△POQ，进而设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；则S_?PQRS可以表示为4S_△POQ=2$\sqrt{2}$|y₁-y₂|，设直线PQ的方程为x=my-$\sqrt{2}$，联立直线与椭圆的方程可得（my-$\sqrt{2}$）²+2y²-4=0，由根与系数的关系可得|y₁-y₂|=4$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（{m}^{2}+2）^{2}}}$，利用基本不等式分析可得|y₁-y₂|有最大值，又由S_?PQRS=4S_△POQ=2$\sqrt{2}$|y₁-y₂|，计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）如图：若四边形F₁BF₂A为正方形，则有a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c；
又由其面积为4，则有a²=4，即a=2，
b=$\sqrt{2}$，
则椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）根据题意，过焦点F₁，F₂作互相平行的两条直线，与椭圆分别交于点P，Q，R，S，结合椭圆的对称性可得四边形PQRS为平行四边形；且S_?PQRS=4S_△POQ，
由（Ⅰ）可得：椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，则其焦点坐标为（±$\sqrt{2}$，0），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；则S_?PQRS=4S_△POQ=4×$\frac{1}{2}$×|OF₁|×|y₁-y₂|=2$\sqrt{2}$|y₁-y₂|，
直线PQ不能与x轴平行，则设其方程为x=my-$\sqrt{2}$，代入椭圆的方程可得：（my-$\sqrt{2}$）²+2y²-4=0，
化简可得：（m²+2）y²-2$\sqrt{2}$my-2=0，
y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$，y₁•y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+2}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}+\frac{8}{{m}^{2}+2}}$=4$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（{m}^{2}+2）^{2}}}$，
令t=m²+1，则t≥1，
|y₁-y₂|=4$\sqrt{\frac{t}{（t+1）^{2}}}$=4$\sqrt{\frac{1}{t+\frac{1}{t}+2}}$，
分析可得：当t=1即m=0时，|y₁-y₂|有最大值2，
此时S_?PQRS=4$\sqrt{2}$，取得最大值．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，关键是正确求出椭圆的标准方程．