Question

18．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$\sqrt{5}x-2y=0$，则双曲线的离心率为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，结合题意由所给的渐近线方程可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，又由双曲线离心率公式变形可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，代入计算可得e的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由其一条渐近线方程为$\sqrt{5}x-2y=0$，即y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，则有$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
其离心率e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{4}$，
则e=$\frac{3}{2}$；
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置．