Question

10．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，且焦距为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点P（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点$G（{0，-\frac{1}{2}}）$，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，根据直线的斜率公式，即可求得k的值．

解答 解：（1）由2c=2，c=1，由a²=b²+c²=b²+1，
则$\frac{1}{{b}^{2}+1}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意可知设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=k（x+2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），
则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
则y₁+y₂=k（x₁+2）+k（x₂+2）=$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则x₀=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，
则k_GM=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{2}}{{x}_{0}}$=$\frac{\frac{2k}{1+2{k}^{2}}+\frac{1}{2}}{-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，（k≠0），
解得：k=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或k=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$（舍），
当k=0时，显然满足题意；
∴直线l的方程为：y=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$（x+2）或y=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．