Question

15．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（-1，0），离心率e=$\frac{1}{2}$左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．
（I）求椭圆M的方程；
（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值，并求此时l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；
（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S₁-S₂|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x₁+x₂，x₁x₂，|S₁-S₂|可转化为关于x₁，x₂的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．

解答 解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，（1分）
又离心率e=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$
∴a=2，b²=a²-c²=3（3分）
∴椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（4分）
（II）设直线l的方程为x=my-1，C（x₁，y₂），D（x₂，y₂），联立方程组
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x得，（3m²+4）y²-6my-9=0（6分）
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$＜0（7分）
S₁=S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₁|，S₂=S_△ABD=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₂|，且y₁，y₂异号
∴|S₁-S₂|=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₁+y₂|=$\frac{1}{2}$×4×|y₁+y₂|=$\frac{12|m|}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12}{3m+\frac{4}{|m|}}$（9分）
∵3|m|+$\frac{4}{|m|}$≥4$\sqrt{3}$，
当且仅当3|m|=$\frac{4}{|m|}$，即m=±$\frac{2}{\sqrt{3}}$时，等号成立
∴|S₁-S₂|的最大值为$\frac{12}{4\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$（11分）
此时l的方程为$\sqrt{3}$x±2y+$\sqrt{3}$=0（12分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．