Question

4．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t+2}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2sinθ．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）M，N分别是曲线C₁和曲线C₂上的动点，求|MN|最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁在参数方程消去参数即可得到普通方程；曲线C₂在极坐标方程ρ=2sinθ两边同乘以ρ，由极坐标与直角坐标的互化公式转化即可；
（2）圆心O（0，1）到直线C₁的距离为d减去半径，即可求得|MN|最小值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t+2}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数，可得C₁的普通方程为4x+3y-11=0；
曲线C₂：ρ=2sinθ，直角坐标方程为x²+（y-1）²=1．
（2）如图，圆心O（0，1）到直线C₁的距离为d=$\frac{|3-11|}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴|MN|最小值=d-r=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．