Question

3．已知函数f（x）=$\frac{a}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}-{a^2}$x（a＞0，b∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）若x₁，x₂是函数f（x）的两个不同的极值点，且|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{2}{a}-1}$，求实数a，b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（x）＞0，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出${x_1}+{x_2}=-\frac{b}{a}，{x_1}{x_2}=-a$，代入|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{2}{a}-1}$，得到关于a的不等式，求出a的范围，得到${b^2}=g（a）=-4{a^3}-{a^2}+2a（{0＜a＜\frac{{\sqrt{33}-1}}{8}}）$，根据函数的单调性求出b的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}-x$，则f'（x）=x²+bx-1
而方程x²+bx-1=0的判别式△=b²+4＞0恒成立，
所以f'（x）=x²+bx-1＞0恒成立，即函数f（x）在R上的单调递增．                                     
（II）∵$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}-{a^2}x$，
∴f'（x）=ax²+bx-a²．x₁，x₂是函数f（x）的两个不同的极值点，
则x₁，x₂是方程ax²+bx-a²=0的两个不同的实数根，
即${x_1}+{x_2}=-\frac{b}{a}，{x_1}{x_2}=-a$，且△=b²-4a（-a²）=b²+4a³＞0
∵$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{\frac{2}{a}-1}（{0＜a≤2}）$，即$|{x_1}-{x_2}{|^2}=\frac{2}{a}-1⇒{（{{x_1}+{x_2}}）^2}-4{x_1}{x_2}=\frac{2}{a}-1$，
∴${（{-\frac{b}{a}}）^2}+4a=\frac{2}{a}-1$，即b²+4a³=2a-a²，则$\left\{\begin{array}{l}-4{a^3}-{a^2}+2a≥0\\ 2a-{a^2}＞0\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}4{a^2}+a-2≤0\\ 0＜a＜2\end{array}\right.⇒0＜a≤\frac{{\sqrt{33}-1}}{8}$（10分）
又${b^2}=g（a）=-4{a^3}-{a^2}+2a（{0＜a＜\frac{{\sqrt{33}-1}}{8}}）$，
$g'（a）=-12{a^2}-2a+2=0⇒a=\frac{1}{3}，a=-\frac{1}{2}$（舍）
当$0＜a＜\frac{1}{3}$时，g'（a）＞0，函数g（a）是增函数；
当$\frac{1}{3}＜a＜\frac{{\sqrt{33}-1}}{8}$时，g'（a）＜0，函数g（a）是减函数；
当$a=\frac{1}{3}$时，函数g（a）取到最大值$g（{\frac{1}{3}}）=\frac{11}{27}$
所以$0＜{b^2}≤\frac{11}{27}⇒b∈[{-\frac{{\sqrt{33}}}{9}，0}）∪（{0，\frac{{\sqrt{33}}}{9}}]$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．