Question

8．已知a为常数，函数f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）内有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，\frac{e}{3}）$
• B． $（\frac{e}{3}，{e^2}）$
• C． $（\frac{e}{3}，\frac{e^2}{6}）$
• D． $（\frac{e}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，问题转化为y=a和g（x）在（0，2）有2个交点，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=（x-2）（3ax-e^x），
若f（x）在（0，2）内有两个极值点，
即a=$\frac{{e}^{x}}{3x}$在（0，2）有2个解，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{3x}$，x∈（0，2），
问题转化为y=a和g（x）在（0，2）有2个交点，
则g′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{3x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：1＜x＜2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，
故g（x）_min=g（1）=$\frac{e}{3}$，而f（2）=$\frac{{e}^{2}}{6}$，
x→0时，f（x）→+∞，
故a∈（$\frac{e}{3}$，$\frac{{e}^{2}}{6}$），
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．