Question

20．已知命题p：曲线y=x²+（2m-3）x+1与x轴相交于不同的两点；命题$q：\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{2}=1$表示焦点在x轴上的椭圆．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m取值范围．

Answer 1

分析 若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q一真一假，进而可得m取值范围．

解答 解：命题p为真?△=（2m-3）²-4＞0?$m＜\frac{1}{2}或m＞\frac{5}{2}$…（3分）
若命题q为真?m＞2…（5分）
∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题
∴p，q一真一假   …（7分）
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}m＜\frac{1}{2}或m＞\frac{5}{2}\\ m≤2\end{array}\right.$∴$m＜\frac{1}{2}$…（9分）
若q真p假，则$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤m≤\frac{5}{2}\\ m＞2\end{array}\right.$∴$2＜m≤\frac{5}{2}$…（11分）
综上，$m＜\frac{1}{2}$或$2＜m≤\frac{5}{2}$…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次函数的图象和性质，椭圆的标准方程，难度中档．