Question

5．已知函数f（x）=e^x-e^-x（x∈R，且e为自然对数的底数）．
（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性；
（2）是否存在实数t，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=e^x-e^-x，结合函数单调性“增+增=增”的性质及奇偶性的定义，可判断f（x）在R上是增函数且是奇函数．
（2）不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切x∈R都成立，即t²+t≤x²+x=（x+$\frac{1}{2}$^_）2-$\frac{1}{4}$对一切x∈R都成立，进而可得存在$t=-\frac{1}{2}$，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切x∈R都成立．

解答 （12分）
解：（1）∵f（x）=e^x-e^-x，
函数y=e^x为增函数，函数y=-e^-x为增函数
∴f（x）在R上是增函数．
（亦可用定义证明）
∵f（x）的定义域为R，且f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）存在．由（1）知f（x）在R上是增函数和奇函数，
则f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切都成立
?f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x）对一切x∈R都成立
?x²-t²≥t-x对一切x∈R都成立
?t²+t≤x²+x=（x+$\frac{1}{2}$^_）2-$\frac{1}{4}$对一切x∈R都成立
$?{t^2}+t≤{（{{x^2}+x}）_{min}}=-\frac{1}{4}?{t^2}+t+\frac{1}{4}={（t+\frac{1}{2}）^2}≤0$，
又${（t+\frac{1}{2}）}^{2}≥0$，
∴${（t+\frac{1}{2}）}^{2}=0$，
∴$t=-\frac{1}{2}$，
∴存在$t=-\frac{1}{2}$，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切x∈R都成立．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．