Question

14．椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的一点P与两焦点F₁，F₂所构成的三角形称为焦点三角形．
（1）求$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值与最小值．
（2）设∠F₁PF₂=θ，求证：${S_{△{F_1}PF}}_2=tan$$\frac{θ}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值2a，再利用均值定理求积|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
（2）由椭圆的定义可知||MF₁|+|MF₂||=2a，|F₁F₂|=2c，设∠F₁MF₂=θ，
在△F₁AF₂中，由余弦定理可得：|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cosθ=（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁|•|MF₂|（1+cosθ），
 可得4c²=4a^2-2|MF₁|•|MF₂|（1+cosθ）⇒|MF₁|•|MF₂|=$\frac{2{b}^{2}}{1+cosθ}$
即有△F₁MF₂的面积S=|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=${b}^{2}\frac{sinθ}{1+cosθ}={b}^{2}tan\frac{θ}{2}=tan\frac{θ}{2}$．

解答 解：（1），设P（x，y），∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（-$\sqrt{3}$，0），
则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3=$\frac{3}{4}$x²-2
∵x²∈[0，4]，∴=$\frac{3}{4}$x²-2∈[-2，1]．
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值为1，最小值为-2．
证明：（2）由椭圆的定义可知||MF₁|+|MF₂||=2a，|F₁F₂|=2c，设∠F₁MF₂=θ，
在△F₁AF₂中，由余弦定理可得：
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cosθ=（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁|•|MF₂|（1+cosθ），
 可得4c²=4a^2-2|MF₁|•|MF₂|（1+cosθ）⇒|MF₁|•|MF₂|=$\frac{2{b}^{2}}{1+cosθ}$
即有△F₁MF₂的面积S=|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=${b}^{2}\frac{sinθ}{1+cosθ}={b}^{2}tan\frac{θ}{2}=tan\frac{θ}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值与最小值的求法，焦点三角形的面积，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．属于中档题