Question

6．已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（4-2x），a＞0且a≠1．
（1）求函数y=f（x）-g（x）的定义域；
（2）求使不等式f（x）＞g（x）成立的实数x的取值范围；
（3）求函数y=2f（x）-g（x）-f（1）的零点．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；
（2）通过讨论a的范围，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可；
（3）令y=0，得到关于x的方程，解出即可．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（4-2x），
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{4-2x＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜2，
故函数的定义域是（-1，2）；
（2）不等式f（x）＞g（x），
即log_a（x+1）＞log_a（4-2x），
0＜a＜1时，x+1＜4-2x，解得：x＜1，
而-1＜x＜2，故不等式的解集是（-1，1）；
a＞1时，x+1＞4-2x，解得：x＞1，
而-1＜x＜2，故不等式的解集是（1，2）；
综上，0＜a＜1时，不等式的解集是（-1，1），
a＞1时，不等式的解集是（1，2）；
（3）令y=2f（x）-g（x）-f（1）=0，
即2log_a（x+1）=log_a（4-2x）+log_a（1+1），
故（x+1）²=2（4-2x），解得：x=-7或x=1，
而-1＜x＜2，
故x=1．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数的零点以及分类讨论思想，是一道中档题．