Question

11．已知数列{a_n}是非常值数列，且满足a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），其前n项和为s_n，若s₅=70，a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）设数列$\left\{{\frac{1}{s_n}}\right\}$的前n项和为T_n，求证：$\frac{1}{6}≤{T_n}＜\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （ I）通过a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），判断{a_n}是等差数列，利用s₅=70，a₂，a₇，a₂₂成等比数列求解数列的首项与公差，然后求解通项公式．
（ II）求出${s_n}=2{n^2}+4n$，化简它的倒数，利用裂项消项法求解数列的和，利用数列的单调性证明不等式．

解答 （本小题满分12分）
解：（ I）因为数列满足a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），所以{a_n}是等差数列且s₅=70，
∴5a₁+10d=70．①…（1分）
∵a₂，a₇，a₂₂成等比数列，∴$a_7^2={a_2}{a_{22}}$，
即${（{a_1}+6d）^2}=（{a_1}+d）（{a_1}+21d）$．②…（3分）
由①，②解得a₁=6，d=4或a₁=14，d=0（舍去），…（4分）
∴a_n=4n+2．…（5分）
（ II）证明：由（ I）可得${s_n}=2{n^2}+4n$，
所以$\frac{1}{s_n}=\frac{1}{{2{n^2}+4n}}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．…（6分）
所以${T_n}=\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}+…+\frac{1}{{{s_{n-1}}}}+\frac{1}{s_n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$．…（8分）
∵${T_n}-\frac{3}{8}=-\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）＜0$，∴${T_n}＜\frac{3}{8}$．…（10分）
∵${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）＞0$，∴数列{T_n}是递增数列，∴${T_n}≥{T_1}=\frac{1}{6}$．…（11分）
∴$\frac{1}{6}≤{T_n}＜\frac{3}{8}$．…（12分）

点评 本题考查数列的应用，通项公式的求法，裂项消项法的应用，数列的单调性的应用，是中档题．