Question

13．设函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，则下列命题：
①f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称；
②f（x）的图象关于点$（{\frac{π}{6}，0}）$对称；
③f（x）的最小正周期为π，且在区间$[{0，\frac{π}{12}}]$上为增函数；
④把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到一个奇函数的图象．
其中正确的命题的序号为③④．（把正确的都填上）

Answer 1

分析 ①计算f（$\frac{π}{3}$）的值，判断$x=\frac{π}{3}$是否为f（x）图象的对称轴；
②计算f（$\frac{π}{6}$）的值，判断f（x）的图象是否关于点$（{\frac{π}{6}，0}）$对称；
③求出f（x）的最小正周期，判断f（x）在区间$[{0，\frac{π}{12}}]$上的单调性；
④根据平移法则，求出f（x）图象平移的解析式即可．

解答 解：对于①，x=$\frac{π}{3}$时，f（$\frac{π}{3}$）=sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$不是最值，
∴f（x）的图象不关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，①错误；
对于②，f（$\frac{π}{6}$）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=1≠0，
∴f（x）的图象不关于点$（{\frac{π}{6}，0}）$对称，②错误；
对于③，T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，∴f（x）的最小正周期为π，
又x∈[0，$\frac{π}{12}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）在区间$[{0，\frac{π}{12}}]$上为增函数，③正确；
对于④，把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度，
得y=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=sin2x，是奇函数的图象，④正确．
综上，正确的命题序号为③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合题．