Question

7．设a＜0，（3x²+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则b-a的最大值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 若（3x²+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则3x²+a≥0，2x+b≥0或3x²+a≤0，2x+b≤0，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a，b的范围，进而得到答案．

解答 解：∵（3x²+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，
∴3x²+a≥0，2x+b≥0或3x²+a≤0，2x+b≤0，
①若2x+b≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b≥0，即b≥-2a＞0，
此时当x=0时，3x²+a=a≥0不成立，
②若2x+b≤0在（a，b）上恒成立，则2b+b≤0，即b≤0，
若3x²+a≤0在（a，b）上恒成立，则3a²+a≤0，即-$\frac{1}{3}$≤a≤0，
故b-a的最大值为$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．