Question

7．已知a＞0，a≠1且a³＞a²，已知函数f（x）=a^x在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，设函数$g（x）=1-\frac{2}{{{a^x}+1}}$．
（1）判断函数g（x）的奇偶性；
（2）证明：$g（{{x^2}-x+\frac{3}{4}}）≥3-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由指数函数的单调性，判断a＞1，由最值可得a的方程，解得a=2，进而运用奇偶性的定义，计算g（-x），与g（x）比较，即可判断g（x）的奇偶性；
（2）判断g（x）在R上递增，配方法求出x²-x+$\frac{3}{4}$≥$\frac{1}{2}$，计算即可得证．

解答 解：∵a＞0，a≠1，a³＞a²，∴a＞1，
又y=a^x在[1，2]上为增函数，
∴a²-a=2，解得a=2或a=-1（舍去）．
∴$g（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$．
（1）函数g（x）的定义域为R，
且$g（{-x}）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^x}+1}}=-\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=-g（x）$，
∴函数g（x）是奇函数．
（2）证明：由复合函数的单调性得函数g（x）在R上单调递增，
∵${x^2}-x+\frac{3}{4}={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$，
∴$g（{{x^2}-x+\frac{3}{4}}）≥g（{\frac{1}{2}}）=3-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断及运用：证明不等式，考查指数函数的单调性及应用，运用定义是解本题的关键，考查运算能力，属于中档题．