Question

17．设X_i（i=1，2，…，50）是相互独立的随机变量，且都服从泊松分布P（0.03），令Z=$\sum_{i=1}^{50}$X_i，试用中心极限定理计算P{Z≥3}．（附$\sqrt{1.5}$≈1.2247，Φ（1.225）=0.8907）

Answer 1

分析 由泊松分布，求出 E（ξ_i），D（ξ_i），由Z=$\sum_{i=1}^{50}$X_i，求出EZ，DZ；
根据中心极限定理知Z～N（1.5，1.5），求出P（Z≥3）的值．

解答 解：由泊松分布知，
   E（ξ_i）=λ=0.03，D（ξ_i）=λ=0.03=σ²  （i=1，2，…，50）；
   由Z=$\sum_{i=1}^{50}$X_i，EZ=50×0.03=1.5，DZ=50×0.03=1.5；
根据中心极限定理知，Z～N（1.5，1.5）；
P（Z≥3）=1-P（Z≤3）=1-P（$\frac{Z-3}{\sqrt{1.5}}$≤$\frac{1.5-3}{\sqrt{1.5}}$）=1-Φ（-1.225）=0.8907．

点评 本题考查了相互独立的随机变量期望与方差的计算问题，也考查了泊松分布与中心极限定理的应用问题，是综合题．