Question

19．已知直线x-2y+2=0与圆C：x²+y²-4y+m=0相交，截得的弦长为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求圆C的方程；
（2）已知P（2，4），过P向圆C引两条切线分别与抛物线y=x²交与点Q、R（异于R点），判断直线QR与圆C的位置关系，并加以说明．

Answer 1

分析 （1）求得圆心到直线的距离，由弦长公式，计算即可得到r²=1，进而得到圆的方程；
（2）令切线方程为y-4=k（x-2），设$Q（{x}_{1}，{{x}_{1}}^{2}），R（{x}_{2}，{{x}_{2}}^{2}），PQ，PR$的斜率分别为k₁、k₂，求得直线QR的方程，运用直线和圆相切的条件，化简整理，再由圆心到直线QR的距离，即可判断所求位置关系．

解答 解：（1）∵C（0，2），∴圆心C到直线x-2y+2=0的距离为$d=\frac{{|{0-4+2}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
∵截得的弦长为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴${r^2}={（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）^2}=1$，
∴圆C的方程为：x²+（y-2）²=1；
（2）令切线方程为y-4=k（x-2），从而$d=\frac{|2-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，即3k²-8k+3=0，
设$Q（{x}_{1}，{{x}_{1}}^{2}），R（{x}_{2}，{{x}_{2}}^{2}），PQ，PR$的斜率分别为k₁、k₂，
从而可得${k_1}•{k_2}=1，{k_1}+{k_2}=\frac{8}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-4=k（x-2）}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，得（x-2）（x-k+2）=0，
∴x₁=k₁-2，x₂=k₂-2，
又由于直线QR的方程为$y-{{x}_{1}}^{2}=\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（x-{x}_{1}）$，
即y=（x₁+x₂）x-x₁•x₂=（k₁+k₂-4）x-（k₁-2）（k₂-2）
=（k₁+k₂-4）x-k₁k₂+2（k₁+k₂）-4=$-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$．
∴4x+3y-1=0．
由圆心（0，2）到直线QR的距离为$\frac{|0+6-1|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}=1$，从而可得直线与圆相切．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交的弦长公式和相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．