Question

11．对于?x∈[${\frac{1}{2}$，+∞）都有2x+a≥$\sqrt{2x-1}$恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{1}{4}}]$
• B． $[{-\frac{1}{4}，+∞}）$
• C． $（{-∞，-\frac{3}{4}}]$
• D． $[{-\frac{3}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 问题转化为则a≥$\sqrt{2x-1}$-2x在[${\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，令f（x）=$\sqrt{2x-1}$-2x，x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：对于?x∈[${\frac{1}{2}$，+∞）都有2x+a≥$\sqrt{2x-1}$恒成立，
则a≥$\sqrt{2x-1}$-2x在[${\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
令f（x）=$\sqrt{2x-1}$-2x，x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），
f′（x）=$\frac{1-2\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{5}{8}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{5}{8}$，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$）递增，在（$\frac{5}{8}$，+∞）递减，
故f（x）_max=f（$\frac{5}{8}$）=-$\frac{3}{4}$，
故a≥-$\frac{3}{4}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．