Question

1．已知α∈R，则函数f（x）=1-sin²（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）的最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

Answer 1

分析 化简f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最大值．

解答 解：函数f（x）=1-sin²（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）
=1-$\frac{1-cos2（x+α）}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2（x+α）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2（x+α）+$\frac{1}{2}$cos2（x+α）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x+α）+$\frac{π}{4}$]
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+2α+$\frac{π}{4}$）；
当2x+2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即x=-α+$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z时；
f（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化简以及正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．