Question

11．2017年春晚分会场之一是凉山西昌，电视播出后，通过网络对凉山分会场的表演进行了调查．调查分三类人群进行，参加了网络调查的观众们的看法情况如下：

观众对凉山分会场表演的看法	非常好	好
中国人且非四川（人数比例）	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
四川人（非凉山）（人数比例）	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$
凉山人（人数比例）	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

（1）从这三类人群中各选一个人，求恰好有2人认为“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；
（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为“非常好”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设事件“恰好有2人认为“非常好””为A，利用互相独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．
（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取9人，则其中认为“非常好”的人数为6，认为“好”的人数为3．在这9人中任意选取3人，认为“非常好”的人数记为ξ，则ξ的可能取值为：0，1，2，3．利用“超几何分布列”的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（1）设事件“恰好有2人认为“非常好””为A，则P（A）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{11}{24}$．
（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取9人，则其中认为“非常好”的人数为6，认为“好”的人数为3．在这9人中任意选取3人，认为“非常好”的人数记为ξ，则ξ的可能取值为：0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{9}^{3}}$=$\frac{18}{84}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{9}^{3}}$=$\frac{45}{84}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{6}^{3}}{{∁}_{9}^{3}}$=$\frac{20}{84}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{20}{84}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{84}$+1×$\frac{18}{84}$+2×$\frac{45}{84}$+3×$\frac{20}{84}$=2．

点评 本题考查了互相独立与互斥事件的概率计算公式、“超几何分布列”的概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．