Question

3．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若?a、b∈[-1，1]，a+b≠0，恒有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0，
（1）证明：函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）若?x∈[-1，1]，对?a∈[-1，1]，不等式f（x）≥m²-2am-2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，根据已知判断f（x₁）-f（x₂）的符号，结合增函数的定义，可得函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）若?x∈[-1，1]，对?a∈[-1，1]，不等式f（x）≥m²-2am-2恒成立，只须f（x）_max≥m²-2am-2，进而得到实数m的取值范围．

解答 （1）证明：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
即$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．则f（x）是[-1，1]上的增函数；
（2）要使存在x∈[-1，1]，使f（x）≥m²-2am-2对所有a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）_max≥m²-2am-2，即1≥m²-2am-2对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²-2am-3≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
令g（a）=-2ma+m²-3，
只须$\left\{\begin{array}{l}g（-1）={m}^{2}+2m-3≥0\\ g（1）={m}^{2}-2m-3≥0\end{array}\right.$，解得m∈[-1，1]

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，函数的单调性，难度中档．