Question

11．若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x²+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （ln$\frac{1}{2e}$，+∞）
• B． （-1，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-ln2，+∞）

Answer 1

分析 分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=2x+2，
设与g（x）=x²+2x+a相切的切点为（s，t）s＜0，与曲线f（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，
则有公共切线斜率为2s+2=$\frac{1}{m}$=$\frac{n-t}{m-s}$，
又t=s²+2s+a，n=lnm，
即有a=s²-1+ln（2s+2），
设f（s）=s²-1-ln（2s+2）（-1＜s＜0），所以f'（s）=$\frac{2{s}^{2}+2s-1}{s+1}$＜0
∴f（s）＞f（0）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∵s∈（-1，0），且趋近与1时，f（s）无限增大，∴a＞-ln2-1
故选A．

点评 本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题