Question

16．已知函数f（x）=asinx-bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线$x=-\frac{π}{6}$对称，且?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，则下列结论正确的是（　　）

• A． $a=\sqrt{3}$，b=1
• B． 函数f（x）在区间$[{\frac{π}{6}，π}]$上单调递增
• C． 函数f（x）的图象的一个对称中心为$（{\frac{2}{3}π，0}）$
• D． 不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等号时|x₂-x₁|的最小值为2π

Answer 1

分析 将函数f（x）化简，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，f（x）的最大值为2，即a²+b²=4．由于f（x）图象的对称轴为直线$x=-\frac{π}{6}$，可得$f（{-\frac{π}{6}}）=-\frac{1}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}b$，求解a，b的值．可得解析式．从而根据正弦函数的图象及性质可得答案．

解答 解：函数f（x）=asinx-bcosx
化简可得$f（x）=asinx-bcosx=\sqrt{{a^2}+{b^2}}sin（{x-φ}）$（其中$tanφ=\frac{b}{a}$），
∵f（x₁）f（x₂）≤4，∴f（x）的最大值为2，∴a²+b²=4①
由于f（x）图象的对称轴为直线$x=-\frac{π}{6}$，
∴$f（{-\frac{π}{6}}）=-\frac{1}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}b$，
∴$|{-\frac{1}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}b}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$②，
由①②解得a=1，$b=\sqrt{3}$．∴$f（x）=2sin（{x-\frac{π}{3}}）$，
故A错误．
由正弦函数的图象及性质可得：在区间$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$单调递增，在区间$（{\frac{5}{6}π，π}]$上单调递减，故B错误．
将对称中心为$（{\frac{2}{3}π，0}）$，解析式不成立，故C错误．
当f（x₁）f（x₂）≤4取到等号时，f（x）能取到两个最大值2，最小间隔为一个周期2π，故选D．
故选D

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数的性质求解出符合题意的解析式是解决本题的关键．属于中档题．