Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F，过F斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于点P．若$\frac{|MN|}{|PF|}$=4，则椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标Q坐标，求得MN垂直平分线方程，当y=0时，即可求得P点坐标，代入即可求得丨PF丨，即可求得$\frac{|MN|}{|PF|}$，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设直线l的方程为：y=（x-c）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
线段MN的中点Q（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∴|MN|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∴y₀=x₀-c=-$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴MN的垂直平分线为：y+$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=-（x-$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），
令y=0，解得x_P=$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴P（$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，0）．
∴|PF|=c-x_P=$\frac{{2b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{|MN|}{|PF|}$=$\frac{2a}{c}$=4，
则$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴椭圆C的离心率$\frac{1}{2}$，
当k=0时，$\frac{|MN|}{|PF|}$=，也成立，
∴椭圆C的离心率$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的垂直平分线的求法，考查计算能力，属于中档题．