Question

15．已知动圆过定点P（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）过点（2，0）的直线l与C相交于A，B两点．求证：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$是一个定值．

Answer 1

分析 （1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为T，则|MT|=$\frac{|MN|}{2}$=4．然后求解动圆圆心C的轨迹方程．
（2）设直线l的方程为x=ky+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理最后求解$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，推出结果即可．

解答 解：（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为T，则|MT|=$\frac{|MN|}{2}$=4．（1分）
依题意，得|CP|²=|CM|²=|MT|²+|TC|²，∴y²+（x-4）²=4²+x²，
∴y²=8x为动圆圆心C的轨迹方程．（4分）
（2）证明：设直线l的方程为x=ky+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）     （5分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=ky+2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$，得y²-8ky-16=0．∴△=64k²+64＞0．（7分）
∴y₁+y₂=8k，y₁y₂=-16，$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，y₂）．（8分）
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+2）（ky₂+2）+y₁y₂（9分）
=k²y₁y₂+2k（y₁+y₂）+4+y₁y₂
=-16k²+16k²+4-16=-12．（11分）
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$是一个定值．（12分）

点评 本题判断轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，定值问题的解决是解题的关键．考查计算能力．