Question

11．如图所示的三棱台ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，AA₁=1，AB=2，BC=4，∠ABB₁=45°．
（1）证明：AB₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）若点D为BC中点，求点C到平面AB₁D的距离．

Answer 1

分析 （1）过点B₁作B₁N⊥AB．说明△BNB₁为等腰直角三角形，证明AB₁⊥BB₁．AA₁⊥BC．AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB₁A₁，得到BC⊥AB₁，然后证明AB₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）点D为BC中点，则点C到平面AB₁D的距离=点B到平面AB₁D的距离，利用等体积方法，即可求解．

解答 （1）证明：如图，过点B₁作B₁N⊥AB
∵∠B₁BN=45°，
故△BNB₁为等腰直角三角形，
∴B₁N=BN=1，
∴B₁B=$\sqrt{2}$，
∴AB₁⊥BB₁．
又∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BC．
又AB⊥BC，且AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥AB₁，
又∵BC∩BB₁=B，
∴AB₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：△AB₁D中，AB₁=$\sqrt{2}$，B₁D=$\sqrt{6}$，AD=2$\sqrt{2}$，∴AB₁⊥B₁D，
∴${S}_{△A{B}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$．
点D为BC中点，则点C到平面AB₁D的距离=点B到平面AB₁D的距离h，
由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{1}{3}×\sqrt{3}h$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴点C到平面AB₁D的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，点到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．