Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x}^{2}+3，x∈[-3，0]}\\{\sqrt{9-{x}^{2}}，x∈（0，3]}\end{array}\right.$，则${∫}_{-3}^{3}$f（x）dx=6+$\frac{9π}{4}$．

Answer 1

分析 分部积分，第一部分公式法，第二部分几何意义．

解答 解：当x∈[-3，0]时，f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+3，则${∫}_{-3}^{0}$（-$\frac{1}{3}$x²+3）dx=（-$\frac{1}{9}$x³+3x）=|${\;}_{-3}^{0}$=0-（3-9）=6，
当x∈[0，3]时，f（x）=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，则${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心以3为半径的圆的面积的四分之一，故${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx=$\frac{9}{4}$π，
故${∫}_{-3}^{3}$f（x）=6+$\frac{9π}{4}$
故答案为：6+$\frac{9π}{4}$

点评 本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于基础题．